Orthogonalité et distances dans l’espace - Spécialité

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les plans \(P\) et \(P'\) ayant pour vecteur normal respectivement \(\vec{u} \left(-2;y;5\right) \) et \(\vec{v} \left(-30;-6;-18\right) \).

Combien doit valoir \(y\) pour que \(P\) et \(P'\) soient orthogonaux ?

Parmi les droites suivantes, lesquelles sont orthogonales ?

• A.\(d\) de vecteur directeur \(\vec{u} \left(4;-5;-4\right) \) et passant par le point M\(\left(5;2;-1\right)\)
  \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{v} \left(6;-4;11\right) \) et passant par le point N\(\left(-3;3;2\right)\)
  
  
• B.\(d\) de vecteur directeur \(\vec{u} \left(-5;-1;-2\right) \) et passant par le point M\(\left(6;-7;6\right)\)
  \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{v} \left(-11;-4;13\right) \) et passant par le point N\(\left(-6;-2;-4\right)\)
  
  
• C.\(d\) de vecteur directeur \(\vec{u} \left(3;3;3\right) \) et passant par le point M\(\left(6;-6;-7\right)\)
  \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{v} \left(9;0;-9\right) \) et passant par le point N\(\left(6;4;-7\right)\)
  
  
• D.\(d\) de vecteur directeur \(\vec{u} \left(-4;-2;3\right) \) et passant par le point M\(\left(-1;-2;5\right)\)
  \(d'\) de vecteur directeur \(\vec{v} \left(11;-7;14\right) \) et passant par le point N\(\left(-6;5;-5\right)\)
  
  

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les points \(A\left(7;-4;5\right)\) et \(B\left(-13;2;5\right)\).

Donnez l'équation cartésienne du plan médiateur du segment \(\left[AB\right]\).

Le système suivant, représente-t-il une droite ou un plan ? \[ \begin{cases} 16x -18y + 6z = -14 \\ 8x -9y + 3z = -7 \end{cases} \]

Si le système représente une droite, donner un vecteur directeur de cette droite.
Si le système représente un plan, donner un vecteur normal au plan.
On donnera la réponse sous la forme d'un vecteur. Exemple: \(\left(1; 2; -2\right)\)

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les droites \(d\) et \(d'\) ayant pour vecteur directeur respectivement \(\vec{u} \left(1;-4;z\right) \) et \(\vec{v} \left(24;30;-24\right) \).

Combien doit valoir \(z\) pour que \(d\) et \(d'\) soient orthogonales ?